2025年11月15日下午，清華大學(xué)張立平教授做客“北大、清華兩校名師講堂”，面向全校師生作“數(shù)學(xué)及其交叉應(yīng)用”主題學(xué)術(shù)報(bào)告。報(bào)告會(huì)由數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副院長(zhǎng)王廣富主持。
張立平教授從個(gè)人基本情況、科研成果概況、自動(dòng)控制領(lǐng)域的關(guān)鍵難題、彩色視頻恢復(fù)的工程需求四個(gè)方面展開(kāi)報(bào)告。報(bào)告的核心內(nèi)容圍繞新型張量譜理論的創(chuàng)新成果展開(kāi)。
首先，張立平教授提出了“張量”的概念。張教授指出在自動(dòng)控制領(lǐng)域的關(guān)鍵難題解析環(huán)節(jié)，多元形式的正定性判定是系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的核心基礎(chǔ)，直接關(guān)系到航空航天、工業(yè)控制、智能裝備等諸多關(guān)鍵領(lǐng)域的技術(shù)安全與性能提升。然而，傳統(tǒng)判定方法面臨著計(jì)算復(fù)雜度高、高維場(chǎng)景適應(yīng)性差、工程落地難度大等突出問(wèn)題，長(zhǎng)期以來(lái)成為制約復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的“卡脖子”瓶頸。為破解這一難題，張立平教授團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)多年潛心研究，創(chuàng)新性地將矩陣領(lǐng)域成熟的M-矩陣概念拓展至張量范疇，首次提出“M-張量”與“強(qiáng)M-張量”的科學(xué)定義，建立起一套完整的張量正定性判定理論體系。在此基礎(chǔ)上，團(tuán)隊(duì)研發(fā)出兩類(lèi)高效算法：Collatz型方法憑借線(xiàn)性收斂特性，能夠快速完成張量正定性的初步判定，滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性分析需求；平滑牛頓法則以二次收斂速度實(shí)現(xiàn)高精度計(jì)算，大幅提升了高維復(fù)雜場(chǎng)景下的判定效率。這兩類(lèi)算法不僅填補(bǔ)了張量正定性判定的方法空白，更成功應(yīng)用于超圖譜理論、高階馬爾科夫鏈分析等大數(shù)據(jù)建模場(chǎng)景，為自動(dòng)控制中復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了實(shí)用工具，推動(dòng)了控制工程領(lǐng)域的技術(shù)升級(jí)與發(fā)展。
其次，張教授向師生們介紹了彩色視頻恢復(fù)的工程需求，深入剖析了該領(lǐng)域的技術(shù)痛點(diǎn)與創(chuàng)新方向。在數(shù)字化時(shí)代，彩色視頻已成為信息傳播、文化娛樂(lè)、安防監(jiān)控等領(lǐng)域的核心載體，然而視頻數(shù)據(jù)在采集、傳輸、存儲(chǔ)過(guò)程中極易出現(xiàn)破損、失真等問(wèn)題，嚴(yán)重影響信息的有效傳遞。傳統(tǒng)彩色視頻處理方式常將RGB通道獨(dú)立分析，這種分離式處理模式極易丟失色彩間的耦合信息，導(dǎo)致恢復(fù)精度不足、色彩失真等問(wèn)題，難以滿(mǎn)足高清視頻、專(zhuān)業(yè)影像等高端應(yīng)用場(chǎng)景的需求。針對(duì)這一現(xiàn)狀，張立平教授團(tuán)隊(duì)另辟蹊徑，創(chuàng)新性地引入“四元數(shù)張量”來(lái)表示彩色視頻，通過(guò)四元數(shù)的虛部分別對(duì)應(yīng)RGB通道，實(shí)現(xiàn)了色彩耦合信息的完整保留，從根本上解決了傳統(tǒng)方法的技術(shù)缺陷。為支撐這一創(chuàng)新表示方法的實(shí)際應(yīng)用，團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步提出適用于三階四元數(shù)張量的新型張量積，并基于這一乘積規(guī)則，定義了三階四元數(shù)張量的奇異值分解規(guī)則與張量秩，更從理論上嚴(yán)格證明了“三階四元數(shù)張量的最佳k秩逼近存在性”，為彩色視頻的低秩建模提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。為驗(yàn)證方法有效性，團(tuán)隊(duì)開(kāi)展了大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)，通過(guò)低秩四元數(shù)張量補(bǔ)全模型處理多組殘缺彩色視頻，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該方法在恢復(fù)精度上較傳統(tǒng)技術(shù)提升30%以上，計(jì)算效率提高2倍，同時(shí)能有效避免色彩侵染問(wèn)題，為視頻修復(fù)、數(shù)據(jù)壓縮等計(jì)算機(jī)視覺(jué)任務(wù)提供了新的技術(shù)路徑，已在影視后期制作、安防視頻還原等領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。
最后，張立平教授對(duì)研究成果進(jìn)行了總結(jié)，其團(tuán)隊(duì)的研究始終以“工程痛點(diǎn)提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題、理論創(chuàng)新破解實(shí)踐難題”為主線(xiàn)，既拓展了新型矩陣（張量）譜理論的學(xué)術(shù)邊界，豐富了高階數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)框架，也實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法與自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域的深度交叉落地，是基礎(chǔ)研究服務(wù)實(shí)際需求的典型范例。整場(chǎng)報(bào)告清晰展現(xiàn)了“數(shù)學(xué)理論到交叉應(yīng)用”的完整研究路徑，為在場(chǎng)科研工作者提供了寶貴的研究參考。
張立平教授結(jié)合自身深厚的學(xué)術(shù)積淀與豐富的研究生指導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，圍繞研究生階段的核心學(xué)習(xí)要點(diǎn)展開(kāi)了真誠(chéng)分享。她著重強(qiáng)調(diào)，基礎(chǔ)學(xué)習(xí)是研究生階段的根基所在，數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S與解決問(wèn)題的方法體系，是開(kāi)展一切科研工作的前提。因此，研究生不僅要扎實(shí)掌握專(zhuān)業(yè)核心理論與研究方法，更要注重知識(shí)體系的系統(tǒng)性構(gòu)建，通過(guò)深入理解數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)科學(xué)的思維方式，為后續(xù)深入研究筑牢根基。同時(shí)，張教授鼓勵(lì)學(xué)生們打破學(xué)科壁壘，開(kāi)展多方向、跨領(lǐng)域的拓展學(xué)習(xí)，通過(guò)廣泛涉獵計(jì)算機(jī)、工程、物理等相關(guān)學(xué)科知識(shí)，參與不同類(lèi)型的科研項(xiàng)目，拓寬學(xué)術(shù)視野、提升綜合素養(yǎng)。她以自身研究經(jīng)歷為例，講述了如何將優(yōu)化理論與自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域結(jié)合，最終取得突破性成果的過(guò)程，激勵(lì)在場(chǎng)學(xué)生既要敢于坐“冷板凳”深耕基礎(chǔ)研究，也要保持對(duì)現(xiàn)實(shí)需求的敏感度，讓學(xué)術(shù)研究真正服務(wù)于國(guó)家發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步。
報(bào)告結(jié)束后，師生們踴躍提問(wèn)，圍繞張量算法的優(yōu)化空間、四元數(shù)張量在其他領(lǐng)域的應(yīng)用潛力、研究生科研入門(mén)路徑等問(wèn)題與張立平教授展開(kāi)深入探討。此次報(bào)告不僅為兩校師生帶來(lái)了新型張量譜理論的前沿知識(shí)，更傳遞了“理論聯(lián)系實(shí)際、科研服務(wù)社會(huì)”的學(xué)術(shù)理念，對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)與工程領(lǐng)域的交叉融合、助力青年科研人才成長(zhǎng)具有重要意義。
張立平，清華大學(xué)長(zhǎng)聘教授，博士生導(dǎo)師，研究方向優(yōu)化理論算法及應(yīng)用、機(jī)器學(xué)習(xí)、強(qiáng)化學(xué)習(xí)，在大規(guī)模高維數(shù)據(jù)處理建模、優(yōu)化算法及張量特征值理論等方面取得了重要研究成果。已在JMLR、Math Program、SIAM、J Matrix Anal Appl、MOR 等優(yōu)化和計(jì)算數(shù)學(xué)國(guó)內(nèi)外核心期刊發(fā)表論文60多篇，連續(xù)獲得多項(xiàng)國(guó) 家自然科學(xué)基金面上資助和1項(xiàng)科技部重點(diǎn)研發(fā)專(zhuān)項(xiàng)資助。曾獲得教育部自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)和北京市科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，其研究始終兼顧理論深度與工程實(shí)用性。
