2025年11月15日下午，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院王家軍教授做客“北大、清華兩校名師講堂”，面向全校師生作“數(shù)學(xué)及其交叉應(yīng)用”主題學(xué)術(shù)報(bào)告。報(bào)告會(huì)由數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副院長(zhǎng)王廣富主持。
王家軍教授，從個(gè)人科研背景、Heegaard Floer同調(diào)理論基礎(chǔ)、核心研究成果、應(yīng)用場(chǎng)景及學(xué)術(shù)價(jià)值五個(gè)方面展開(kāi)報(bào)告。
首先，王教授向師生普及了Heegaard Floer同調(diào)的理論背景與基本構(gòu)造。在低維拓?fù)溲芯康拈L(zhǎng)期發(fā)展中，學(xué)者們始終面臨著“如何精準(zhǔn)區(qū)分拓?fù)淇臻g細(xì)微差異”的核心難題，傳統(tǒng)拓?fù)洳蛔兞咳缁救?、同調(diào)群等，雖能刻畫(huà)空間的基礎(chǔ)拓?fù)湫再|(zhì)，但在處理結(jié)構(gòu)復(fù)雜的三維流形時(shí)往往存在局限，無(wú)法識(shí)別部分形態(tài)相近卻本質(zhì)不同的空間類(lèi)型。該理論由Peter Ozsvath與Zoltan Szabo于2000年首次提出，正是為解決這一困境而生，成為近二十年低維拓?fù)漕I(lǐng)域最具突破性的不變量理論。其核心構(gòu)造以三維流形的Heegaard分解為基石——任何緊致連通的三維流形都可拆分為兩個(gè)虧格為g的實(shí)心環(huán)面，二者的公共邊界即為Heegaard曲面。在這一分解曲面上，通過(guò)定義兩組互不相交的對(duì)偶α-曲線(xiàn)與β-曲線(xiàn)，搭配特定標(biāo)記點(diǎn)構(gòu)建鏈復(fù)形，再結(jié)合辛幾何中的全純圓盤(pán)計(jì)數(shù)方法進(jìn)行同調(diào)運(yùn)算，最終得到兼具幾何直觀(guān)性與代數(shù)嚴(yán)謹(jǐn)性的拓?fù)洳蛔兞?。這一構(gòu)造將幾何形態(tài)的直觀(guān)性與代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性完美融合，既讓抽象的拓?fù)涓拍钣辛丝筛兄膸缀屋d體，又通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化的代數(shù)流程保證了計(jì)算結(jié)果的可靠性，有效彌補(bǔ)了傳統(tǒng)不變量的不足，為低維拓?fù)溲芯刻峁┝巳碌募夹g(shù)路徑。
其次，王教授重點(diǎn)介紹了Heegaard Floer同調(diào)的三大核心應(yīng)用場(chǎng)景，為師生梳理理論的實(shí)踐價(jià)值：三維流形拓?fù)浞诸?lèi)中，該理論展現(xiàn)出極強(qiáng)的精準(zhǔn)性與實(shí)用性。Thurston幾何化猜想的證明為三維流形分類(lèi)提供了理論框架，Heegaard Floer同調(diào)則成為落實(shí)這一框架的關(guān)鍵工具——通過(guò)計(jì)算流形的Heegaard Floer同調(diào)群，可精準(zhǔn)檢測(cè)Thurston范數(shù)，該范數(shù)能夠量化流形的“復(fù)雜度”，為流形分類(lèi)提供核心參考；同時(shí)，還能有效判斷三維流形是否為“纖維化流形”，即能否表示為圓周在某一曲面上的纖維叢，這一判斷對(duì)理解流形的幾何結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)性質(zhì)具有重要意義，成為幾何化分類(lèi)中不可或缺的核心工具。紐結(jié)理論中，Heegaard Floer同調(diào)的衍生分支“紐結(jié)Floer同調(diào)”實(shí)現(xiàn)了對(duì)傳統(tǒng)不變量的超越。傳統(tǒng)亞歷山大多項(xiàng)式、瓊斯多項(xiàng)式等不變量在區(qū)分部分同痕紐結(jié)時(shí)往往失效，而紐結(jié)Floer同調(diào)不僅能精準(zhǔn)識(shí)別這些“難辨紐結(jié)”，還能直接計(jì)算紐結(jié)虧格與解結(jié)數(shù)，這些關(guān)鍵參數(shù)的精準(zhǔn)獲取，為紐結(jié)理論的基礎(chǔ)研究與實(shí)際應(yīng)用提供了核心支撐，使其成為當(dāng)前最精細(xì)的紐結(jié)不變量之一。與基本群關(guān)聯(lián)研究中，Heegaard Floer同調(diào)搭建起代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓?fù)浔举|(zhì)的橋梁?；救鹤鳛榭坍?huà)拓?fù)淇臻g“洞”結(jié)構(gòu)的核心代數(shù)對(duì)象，其性質(zhì)分析一直是拓?fù)鋵W(xué)的難點(diǎn)，Heegaard Floer同調(diào)通過(guò)解析同調(diào)群的秩、撓子結(jié)構(gòu)等代數(shù)信息，可反向推導(dǎo)基本群的可解性、有限生成性等關(guān)鍵性質(zhì)，為處理傳統(tǒng)代數(shù)工具難以應(yīng)對(duì)的基本群?jiǎn)栴}提供了全新思路，幫助學(xué)者更深刻地理解空間的代數(shù)拓?fù)浔举|(zhì)。
最后，王教授總結(jié)了Heegaard Floer同調(diào)的學(xué)術(shù)交叉性與拓展價(jià)值：該理論以辛幾何為基礎(chǔ)，服務(wù)低維拓?fù)浜诵膯?wèn)題，同時(shí)與群論、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理等多個(gè)領(lǐng)域存在深刻的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成了“基礎(chǔ)理論—核心應(yīng)用—跨學(xué)科延伸”的完整學(xué)術(shù)體系。近年來(lái)，其應(yīng)用范圍已逐步延伸至切觸拓?fù)?、四維流形等前沿方向——在切觸拓?fù)渲?，通過(guò)Heegaard Floer同調(diào)構(gòu)造切觸結(jié)構(gòu)的不變量，為切觸結(jié)構(gòu)的分類(lèi)與性質(zhì)研究提供了新工具；四維流形研究中，與Seiberg-Witten不變量的結(jié)合，為解析四維流形的拓?fù)湫再|(zhì)開(kāi)辟了新路徑。此外，王教授團(tuán)隊(duì)研發(fā)的高效計(jì)算算法，通過(guò)優(yōu)化鏈復(fù)形構(gòu)建流程與同調(diào)運(yùn)算步驟，大幅降低了理論的計(jì)算門(mén)檻，使原本復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程得以標(biāo)準(zhǔn)化、便捷化，為該理論的普及與推廣奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，讓更多研究者能夠運(yùn)用這一工具開(kāi)展相關(guān)研究。王教授的此次報(bào)告，不僅系統(tǒng)梳理了Heegaard Floer同調(diào)理論的發(fā)展脈絡(luò)、核心構(gòu)造與應(yīng)用場(chǎng)景，更以理論的交叉性為切入點(diǎn)，展現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)“多領(lǐng)域聯(lián)動(dòng)、理論與實(shí)踐互促”的發(fā)展趨勢(shì)。這場(chǎng)報(bào)告不僅是一次專(zhuān)業(yè)知識(shí)的深度科普，更是一次科研思維的啟發(fā)。王教授強(qiáng)調(diào)的“幾何構(gòu)造+代數(shù)計(jì)算+應(yīng)用拓展”研究思路，為青年學(xué)者指明了從理論學(xué)習(xí)到科研創(chuàng)新的轉(zhuǎn)化路徑。
王教授結(jié)合自身研究經(jīng)歷，向在場(chǎng)師生分享了科研心得：拓?fù)鋵W(xué)研究需遵循“幾何構(gòu)造+代數(shù)計(jì)算+應(yīng)用拓展”的思路，既要深耕理論基礎(chǔ)，筑牢知識(shí)體系的根基，又要注重跨學(xué)科融合，打破學(xué)科壁壘，在不同研究領(lǐng)域的交叉點(diǎn)尋找創(chuàng)新突破點(diǎn)。抽象數(shù)學(xué)工具并非孤立存在的理論符號(hào)，而是解決實(shí)際學(xué)術(shù)問(wèn)題的“精密標(biāo)尺”與“學(xué)術(shù)紐帶”。王教授以自身團(tuán)隊(duì)的研究為例，講述了如何通過(guò)堅(jiān)守這一思路，在Heegaard Floer同調(diào)的理論完善與應(yīng)用拓展中取得多項(xiàng)突破性成果，為青年學(xué)者提供了寶貴的實(shí)踐借鑒。
報(bào)告結(jié)束后，王教授與現(xiàn)場(chǎng)師生就理論計(jì)算優(yōu)化、應(yīng)用場(chǎng)景拓展等問(wèn)題深入交流，針對(duì)師生提出的“高虧格三維流形的計(jì)算效率提升”“理論在量子拓?fù)渲械臐撛趹?yīng)用”等問(wèn)題，逐一進(jìn)行細(xì)致解答，并分享了相關(guān)領(lǐng)域的最新研究動(dòng)態(tài)與未來(lái)發(fā)展方向，為相關(guān)領(lǐng)域后續(xù)研究提供了寶貴思路。
王家軍，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，國(guó)家杰出青年科學(xué)基金獲得者，低維拓?fù)渑c規(guī)范場(chǎng)理論領(lǐng)域領(lǐng)軍學(xué)者，長(zhǎng)期深耕幾何與拓?fù)浣虒W(xué)科研，曾獲“求是杰出青年學(xué)者獎(jiǎng)”，研究聚焦低維拓?fù)?、雙曲幾何及規(guī)范場(chǎng)理論，在Heegaard Floer同調(diào)領(lǐng)域開(kāi)展開(kāi)創(chuàng)性工作，成果發(fā)表于《Annals of Mathematics》等國(guó)際數(shù)學(xué)頂刊，學(xué)術(shù)影響力廣受認(rèn)可。
