2025年6月13日上午，清華大學(xué)何凌冰教授受邀進(jìn)行了一場(chǎng)精彩的線(xiàn)上學(xué)術(shù)報(bào)告。報(bào)告會(huì)由數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院孫寶燕老師主持。
何凌冰教授個(gè)人基本情況、科研成果概況：
何凌冰，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師，博士畢業(yè)于中國(guó)科學(xué)院，師從張平院士。主要研究動(dòng)理學(xué)方程與流體力學(xué)方程組解的適定性，正則性和收斂性等問(wèn)題。研究成果先后發(fā)表在J. Eur. Math. Soc., Ann. Sci. éc. Norm. Supér., Ann. PDE, Comm. Math. Phys., Arch. Ration. Mech. Anal., Math. Ann., SIAM J. Math. Anal.等國(guó)際主流數(shù)學(xué)雜志發(fā)表論文40余篇。
何凌冰教授報(bào)告共分成五個(gè)部分：
（1）首先介紹玻爾茲曼方程的物理背景和應(yīng)景價(jià)值。在描述流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)考慮不同的物理尺度時(shí)可以得到不同的運(yùn)動(dòng)方程。在宏觀(guān)層次，有著名的Euler方程組和Navier-Stokes方程組。在微觀(guān)層次，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模型由描述單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)耦合的牛頓方程構(gòu)成。介于兩者之間的一個(gè)重要的介觀(guān)模型是玻爾茲曼方程，這是描述稀薄氣體中大量中性粒子通過(guò)相互碰撞而產(chǎn)生的各種物理現(xiàn)象隨時(shí)間的統(tǒng)計(jì)演化。何老師介紹玻爾茲曼方程的結(jié)構(gòu)，各個(gè)變量的物理含義，方程保持質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒，熵是單調(diào)遞減的。給出碰撞核的假設(shè)條件，并定義非角截?cái)嗯鲎菜阕印?duì)已有結(jié)果給出介紹，并說(shuō)明對(duì)于玻爾茲曼方程研究的困難點(diǎn)。上世紀(jì)90年代，Lions因在玻爾茲曼方程以及流體方程上的重大突破獲得1994年的菲爾茲獎(jiǎng)。2010年，Villani在動(dòng)理學(xué)方程收斂至平衡態(tài)的問(wèn)題以及朗道阻尼的研究而獲得菲爾茲獎(jiǎng)。未解決的關(guān)鍵問(wèn)題有大初值全局解的存在性：非截?cái)嘬泟?shì)下是否總存在光滑解？最優(yōu)收斂速率：非截?cái)嗪说氖諗克俾适欠窨蛇_(dá)指數(shù)級(jí)？高維問(wèn)題：三維以上空間的奇異解構(gòu)造。量子玻爾茲曼方程：低溫下量子效應(yīng)（如玻色-愛(ài)因斯坦凝聚）對(duì)解的影響。
（2）玻爾茲曼方程在非角截?cái)嘤矂?shì)情形下的局部適定性結(jié)果。對(duì)于該問(wèn)題的研究存在兩個(gè)主要困難點(diǎn)：1、證明方程解的正則性的傳播、非負(fù)性和唯一性。舉例詳細(xì)說(shuō)明右端項(xiàng)無(wú)法被左端項(xiàng)控制住，從而無(wú)法利用Gronwall不等式來(lái)封閉估計(jì)。2、證明非角截?cái)嗯鲎菜阕拥囊恢鹿烙?jì)和能量估計(jì)，從而取極限可以得到方程的適定性結(jié)論。首先給出函數(shù)空間選取的定義，保證能量空間和初值是相容的。介紹何凌冰老師與合作者江金城和周玉龍所取得的研究成果，玻爾茲曼方程在非角截?cái)嘤矂?shì)情形下的局部適定性結(jié)果。證明思路是利用Povnzer不等式和碰撞算子的分解技巧，利用速度平均引理將速度變量正則性轉(zhuǎn)移到空間變量，借助自助方法提高正則性。
（3）玻爾茲曼方程軟勢(shì)情形下解在指數(shù)權(quán)空間中的局部適定性結(jié)果。首先假設(shè)質(zhì)量和能量分別有界并且質(zhì)量遠(yuǎn)離真空，對(duì)于初值給出一定假設(shè)條件，可以得到爾茲曼方程在標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)擾動(dòng)下軟勢(shì)情形的局部適定性結(jié)果。也可以得到解的Gevrey正則性，該正則性指標(biāo)是最優(yōu)的。空間均勻玻爾茲曼方程與分?jǐn)?shù)階熱方程類(lèi)似，空間非均勻玻爾茲曼方程與分?jǐn)?shù)階Fokker-Planck方程類(lèi)似。這一觀(guān)察非常深刻！空間均勻與非均勻的玻爾茲曼方程與分?jǐn)?shù)階方程之間的類(lèi)比，揭示了二者在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、物理機(jī)制和分析技術(shù)上的內(nèi)在聯(lián)系。以下從數(shù)學(xué)形式、物理意義和分析工具三個(gè)維度展開(kāi)討論，并指出相關(guān)研究的前沿進(jìn)展。
（4）玻爾茲曼方程在軟勢(shì)情形下解在多項(xiàng)式權(quán)空間中的正則性結(jié)果。何老師介紹與合作者證明的弱解的正則性估計(jì)和經(jīng)典解的正則性結(jié)果。以下結(jié)合與合作者的研究經(jīng)驗(yàn)，系統(tǒng)總結(jié)相關(guān)結(jié)果、難點(diǎn)及解決技巧，強(qiáng)調(diào)解決該類(lèi)問(wèn)題所遇到的困難點(diǎn)，并且給出克服困難的技巧。線(xiàn)性化算子 在軟勢(shì)下仍滿(mǎn)足譜間隙，但需依賴(lài)速度權(quán)重。通過(guò)能量方法或傅里葉分析控制高階導(dǎo)數(shù)。以上結(jié)果和技術(shù)體現(xiàn)了玻爾茲曼方程研究中硬分析（如微局部分析）與軟工具（如熵方法）的深度融合。
（5）報(bào)告最后給出幾個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。證明在多項(xiàng)式擾動(dòng)下軟勢(shì)的整體存在性結(jié)果以及光滑性結(jié)果。對(duì)于該類(lèi)公開(kāi)問(wèn)題面臨很大的困難，也是國(guó)際上的關(guān)注點(diǎn)，鑒于現(xiàn)有的理論框架還無(wú)法解決。但這些公開(kāi)問(wèn)題會(huì)帶來(lái)新的啟發(fā)。玻爾茲曼方程的研究已從經(jīng)典的存在性/唯一性理論，擴(kuò)展到非局部、非線(xiàn)性及多尺度分析的深水區(qū)。未來(lái)，隨著數(shù)學(xué)工具（如隨機(jī)幾何、人工智能輔助分析）的發(fā)展，該領(lǐng)域有望在理論、計(jì)算和應(yīng)用層面實(shí)現(xiàn)更大突破。如需特定子方向的細(xì)節(jié)（如非截?cái)嗪嘶蛄黧w極限），可進(jìn)一步探討。
最后何凌冰老師通過(guò)分享自身的求學(xué)和科研經(jīng)歷，向現(xiàn)場(chǎng)師生分享了自己的科研心得。其次，無(wú)論是做科研還是做事情，要從點(diǎn)到線(xiàn)，然后到面，循序漸進(jìn)；另外，我們既要注重學(xué)術(shù)研究，又要有成果落地；再次，做一件事情要堅(jiān)持，要敢于做冷板凳，尤其是數(shù)學(xué)這種基礎(chǔ)學(xué)科；最后，一定要有家國(guó)情懷，利用自身所學(xué)真正為國(guó)家多做一點(diǎn)貢獻(xiàn)。在玻爾茲曼方程及相關(guān)動(dòng)理學(xué)方程的研究中，若要進(jìn)一步推動(dòng)理論突破或應(yīng)用拓展，可結(jié)合當(dāng)前領(lǐng)域難點(diǎn)和新興工具。玻爾茲曼方程的研究已進(jìn)入"深水區(qū)"，需在理論深度（如非局部算子）、技術(shù)交叉（AI+數(shù)學(xué)）、應(yīng)用落地（聚變能源）三方面協(xié)同突破。建議以具體問(wèn)題為切入點(diǎn)（如選定軟勢(shì)模型），逐步推進(jìn)至一般情形。如需某方向的具體文獻(xiàn)或合作者推薦，可進(jìn)一步探討。
在報(bào)告的最后，何凌冰老師與師生進(jìn)行了熱切交流，并耐心解答疑問(wèn)，提供解決問(wèn)題的思路。
